距离知多少?

  数学, 评论

(文/Joselle Kehoe)数学的种子蕴藏在早期人类对“数”的探索和对空间的观测之中。然而无文字符号提高了思想和洞察力的重要性。下面我将带领大家简单游览代数学和几何学的思想王国。

对那些很少接触数学的人来说,可能会混淆代数学和几何学在思考同一问题时的不同方式。所有上过代数课的人都知道函数的定义,假设我们定义y=2x,那么y的值就会随x值的变化而变化。我们可以通过直角坐标系来画出这个关系,它是一条穿过原点的斜线。你还可以通过毕达哥拉斯的直角三角形法(勾股定理)来计算直线或平面直角空间中任意两点的距离。这里的空间是平面,对象是平面中的点。当铅笔在平面上勾勒出直线之时,我们就定义了一个由函数决定的点集。

任意坐标系中的点都是通过毕达哥拉斯法定义的。所以我们可以计算三维、四维、甚至无穷维空间中两个点的距离。数学空间中任意两个数学对象间的距离是有度量的。不管使用什么样的度量(包括三维以上空间的距离公式),有三个条件必须成立:

1、两点之间距离必须为正(一个对象到它本身的距离为0);

2、A和B与B和A之间的距离相同;

3、A到B的距离加上B到C的距离大于或等于A到C的距离。

我们所熟知的是欧式度量或距离公式。但每个非欧空间中都有特定的度量,如果正确定义,我们就可以确定任意数学对象的任意集合中两点之间的距离。函数本身也是集合中的对象,所以可以定义两个函数间的距离。在分形论中,这种思想可以把非常复杂的图形描述成简单的图形(同微积分中的数值极限相似)。

这种思想交叉而产生的果实在数学中比比皆是,如阿兰•孔内斯所说,这种交叉的蔓延可能会威胁到自身思想的完整性。但当我思考数学发展时,我的思想会朝两个方向游荡。我想知道我们如何确定一个思想的精髓,或更具体地说,我们为何相信距离三性质的正确性。这种信心只能通过数学证明。这就是数学研究中的困难之处。当我们无法看到需要计算的距离时,必须在思想中坚信它的存在。经历了纯粹的数学体验,数学家们就会神奇地得到新思想的线索。保持这种姿态并向另一个方向探索,奇迹就会发生。物理学家和工程师也建立在这种关系之上。下面是《演化心理学》的书摘,作者讲述了数学在演化过程中的应用:

“我们转向数学领域,它们在牛顿时代和爱因斯坦时代被发明,并曾用来描述进化的改变。总的来说,这些领域是元素的集合,每个元素代表或“标定”进化系统中的一个可能状态。通常这些元素使用数字或字符串分类,并定量划分。运动方程规定了任意状态变化到其他状态的速率等等,贯穿整个演化过程的每时每刻。元素的集合通常有与之相关的度量,或距离的自然测量。这样我们就可以确定状态变化的大小和量度。如果适当地定义度量,它可以被看作是用几何性质来武装的元素集合。

“这些性质是进化改变中固有的,同时可以从任意性中解放出来,我们可以标定或联系状态元素和它们的数值指标。这样就会很自然地想到,通过自然几何武装的集合就像空间中的点,每个点代表一个状态,演化改变就像是空间中的路径或轨迹。所以例如,状态元素或点代表一个种群中生物基因变异的频率且有固定的值,而文化基因变化同样有特定的数值。频率稍有不同的点在空间中相近。运动方程把这些点连成线,来预测人口变化时下一个点的位置。任何关于群体遗传学、生态学或神经网络理论的数据中都有以这个方法为基础的大篇论述。”

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博主介绍:
Joselle Kehoe,心理学学士,数学硕士(这个转变很特别,不容易!),从事数学教学20多年。一系列关于直觉、生物和自我认知上的文章足见她的广博,此外她还是个业余画家,获得过一些local奖项。

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