伪球面,绚烂凝固下来一段几何史

  数学, 视觉

画一条直线,然后在线外作一点,请问过此点,你能做多少条直线与已知直线平行?希腊数学家欧几里德的答案是:有且仅有一条——这是传统的欧氏几何五条公设中最后一条,也就是平行公设的导出结论。但由于平行公设并不如其它公设那么显而易见,因此有数学家们就提出,平行公设能否不作为公设,而作为定理?数学家们拼了命地试图证明这一点——这就是在欧几里德去世后争论了长达2000多年的“平行线理论”讨论。直到19世纪,俄国数学家罗巴切夫斯基给出了逻辑严密的推理:人们无法证明平行公设。同时,罗氏试图用与平行公设相矛盾的命题:过直线外一点可以做任意多条与已知直线平行的直线,与欧几里德的前四条公设相结合并进行推导。他惊讶地发现:新的公理体系中所展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上并无矛盾的新定理,并形成了像欧氏几何一样完善和严密的几何学。这就是后人所称的罗氏几何。

爱因斯坦说,人的形象思维在非欧几何面前绝不会无能为力。仿佛为验证这句话,科学家和艺术家们用各种好玩有趣的方式来创作出这些数学几何中的抽象曲面。用非数学专业人士也能懂的方式来谈谈方程式,是前数学教授理查德•帕里斯(Richard Palais)和青年艺术家卢克•伯纳德(Luc Benard)的创作初衷,帕里斯表示他们采用了象征的手法,因为曲面本身就代表了等式。而那些绚丽的非欧几何曲面正是凝固着的几何史。

帕里斯是个面相和善的小老头,在布兰迪斯大学(Brandeis University)数学系忙碌了37年之后,他荣誉退休了。不过,这可是个闲不下来的人。他大部分的退休时间都用在了数学可视化工作上。这个小老头不仅擅长把一串串的数学公式变成炫目的画面,还在苹果操作系统上,写了一个叫3D-XplorMath的程序,方便大家都能享受到将数学对象和过程可视化的乐趣。当然了,一个好汉三个帮,帕里斯也没忘记找帮手:留着长发的数字艺术家伯纳德。这位喜欢哈巴狗、伏特加和一切闪闪发光东西的伯纳德先生,刚在酒精中度过了他二十五岁的生日。据他在博客上自述:三月二十六号生日那晚喝得很嗨,吐得很爽——生活很美好。

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帕里斯和伯纳德运用计算机作图的方法,用大家熟悉而又很吸引人的方式创作了非欧几何中的抽象曲面。上面这幅作品名为“库恩曲面:关于欧氏几何、罗氏几何及量子场的冥想”,获得了2009年国际科学与工程视觉挑战影像评选插图类的第一名。图中纸面上的公式是正弦戈登方程(Sine-Gordon)的解,就如同这个方程所有的解一样,这个解描述了一个被称为伪球面的特殊曲面。该伪球面被称为库恩曲面(Kuen’s surface),这个不可捉摸又抽象的家伙现在正在桌子上放着,纸面上还有若干个它的平面投影。

伪球面最让人称道的一点,就是它符合除了平行公设之外的所有欧氏平面几何的公设。2000多年来,人们试图用其它公设来证明平行公设,但随着1826年罗巴切夫斯基著名的伪球反证的发现,库恩曲面本身就也成为了平行公设不可被证明的一个标志。另一个令人惊讶的发现就在不远处:在人们发现正弦戈登方程与伪球面密切联系的100多年后,这个方程被证明是相对量子场理论的范例之一。相对量子场论理论作为一种数学结构,是理论物理学家建构其最先进与复杂理论的基础。

这幅作品被主创者赋予了象征2000多年来数学进步的含义,的确,它做到了。

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静物:桌面上的五个玻璃曲面,这幅作品获得了2006年国际科学与工程视觉挑战赛一等奖。

(本文图片来源:美国国家科学基金会网站)

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